Aslinda mantiksiz degillerdir kanimca ama insanin onsezilerinin bazen doganin ya da matematigin derinligini tam yakalayamama durumudur soz konusu olan. Soyle ki aslinda sadece rasyonel sayilara inanmak hakikaten de mantikli gozukur basta. Mesela elimizde bir cubuk olsun karsimizda da cubugun boyunu "tam olarak" bilen bir arkadas ve bu arkadas "tahmin et kac metre bu cubuk" desin bize. 3/5 metre diyelim. Az mi oldu, 4/5? Cok mu, o zaman 7/10, yine mi az 15/20=3/4, yine mi cok, 29/40? Boyle gide gide o kadar cok yaklasiriz ki cubugun boyuna, cubugun boyu elimizden kacamaz saniriz. Sonucta cubugun boyu sabit, yapabilecegimiz tahmin sayisiysa sonsuzdur, hem de her seferinde bir oncekinden de daha iyi bir tahmin yapariz. Kesin yaptigimiz tahminlerden biri cubugun boyu olacak ve biz de cubugun boyunu iki tam sayinin orani yani rasyonel sayi olarak ifade etmis olacagizdir. Oysa bu dusunce gunluk hayatimizdaki deneyimlerimizin bizi yaniltmasindan baska bir sey degildir. Alismisizdir yagan her yagmur damlasinin sonunda denize karismasina, her gun rengi benzi biraz daha solan batakci dostumuzun bir gun kahveye gelmemesine, her nefeste biraz daha biten sigaramizin sonunda filtresini icimize cekmeye, giderek hoslandigimiz biriyle sonunda sevismemize, yani yaklasan her seyin "bir seye" ulasmasina, "bir sonuca" varmasina, "bir yerde" bitmesine, alismisizdir. Bu yuzden rasyonel sayilar da gittikleri yere varacak ve cubugun boyunu bize verecektirler. Lakin boyle bir sart genel olarak ne matematikte ne de hayatta vardir illaki. Biraz yukseltip biraz azaltarak giderek birbirine yaklastirdigimiz tahminlerimiz, arkadasimiz bize olmadi cik, cok oldu in demeyi birakmazsa oyle bir yol izlerler ki bir turlu aralarina tam bir rasyonel sayiyi sikistiramazlar, aralarina sikistirdiklarini sandigimiz herhangi bir rasyonel sayidan bakariz ki bir muddet sonra kacmislar, baska bir rasyonel sayi etrafinda gidip gelmeye baslamislar, sonra ondan kacip baska bir tane, sonra baska bir tane. Demek ki her ne kadar tahminlerimiz birbirine giderek yaklassa da aslinda sonsuza kadar aralarina sikistirabilecekleri belli bir rasyonel sayi yoktur. Fakat bunun yani sira tahminlerimiz, arkadasimizin bize bu cok oldu bu az oldu demesine gore belirlendikleri icin, her zaman cubugun uzunlugu etrafinda kalacak sekilde, onu sikistiracak sekilde ilerleyeceklerdir. Buradan cikarabilecegimiz tek bir sonuc olabilir: Rasyonel sayilari kullanarak cubugun boyuna istedigimiz kadar yaklasabilmemize ragmen, cubugun boyu aslinda her hangi bir rasyonel sayidan baska bir seydir ve bu yuzden hic bir tahminimiz onu tutturamayacak, bir turlu ne oldugunu soyleyemeyecegizdir. Bu sayi yeni bir tur, bilmedigimiz, bir turlu soyleyemedigimiz, yazamadigimiz, gunluk hayatimiza bakinca bize "mantiksiz" gelen fakat yine mantik yoluyla varligini kabul etmek zorunda kaldigimiz bir sayidir: irrasyonel sayi. Dedigim gibi mantiksiz degillerdir bence, sadece gunluk onsezilere ters gelen, soylenemeyen, yazilamayan, fakat elimizde tuttugumuz, fakat iste orada olan bir sayidir sadece.
Bazilari, icinde irrasyonel sayilarin oldugu matematigi sevmez, dogada irrasyonel sayilar olduguna inanmazlar. Bunlar her seyi bilmek, her seyi gunluk hayattaki onsezilerini kullanarak sezebilmek isteyen, herhangi matematiksel tutarliligi olan bir seyi doga kabul etmekten cekinmese bile, kraldan cok kralci bir tavirla sirf sezemedikleri icin reddeden insanlardir. Bunlar, bize tahminlerimiz hakkinda bilgi veren cocugun aslinda cubugun boyunu bilmedigini, sirf biz tahmin edemeyelim diye bize cik, bir daha cik, simdi in demeyi devam ettiren, rasyonel sayilarin sonsuzlugundan yararlanip bizimle kafa bulan, bizi alaya alan, serefsiz adi biri oldugunu iddia ederler. Bunlara gore cubugun boyu gercekten bir rasyonel sayidir ve bu adi yalanci cocuk bize bir yerde yalan soylemistir. Tamam bu cocugun sacma sapan in ciklari bitmeyecek ve bizim rasyonel sayilarimiz ne kadar birbirine yaklasirsa yaklassin sonunda herhangi bir sabite varamayacaktirlar ama bunun tuhafligi irrasyonellerin varolmasinin tuhafligindan daha iyidir onlar icin.
Son olarak irrasyonel sayilarin rasyonellerden farkli olan sonsuzlugundan bahsedelim. Dedigimiz gibi irrasyonellerin dogasiyla rasyonellerinki farklidir, her irrasyonel sayi bir rasyonel sayi dizisinin limiti olsa bile. Bunun yaninda irrasyonel sayilar sayica rasyonel sayilardan cok cok cok daha cokturlar. Aslinda bu biraz yanlis bir tabirdir, ne de olsa rasyonel sayilar da irrasyonel sayilar da sonsuz sayidadirlar fakat matematikte sonsuz cesit sonsuz vardir ve bu sonsuz cesit sonsuzlukta irrasyonellerin sonsuzlugu rasyonellerinkinden daha buyuktur, hem de oyle boyle degil. Bunu soyle aciklayalim. Mesela o kadar sosyal o kadar iyi bir insan olmus olalim ki sonsuz sayida arkadasimiz olsun: Ahmet, Mehmet, Duygu, Ufuk, ......... boyle gitsin. Biz de bu arkadaslarimizi hic unutmamak baktikca onlari hatirlamak icin fotograflarini cekmek isteyelim ama sadece hepsinin tek tek fotograflarini degil, mesela Duygu ile Ahmet'in ya da Hasan, Mukremin, Reyhan'in; ya da arkadas 1, arkadas 11, arkadas 21, arkadas 31, ...... nin, dusunebildigimiz butun kombinasyonlarin da fotograflarini cekmek isteyelim. Bir kere butun bu fotograflari cekince elimizdeki sonsuz fotograf sayisi arkadaslarimizin sonsuzlugundan fazla olacaktir cunku bizim elimizde arkadaslarimizin tek tek fotograflarindan daha cok sayida fotograf olacagi kesindir. Fakat matematikte bir sonsuza bu anlamda digerinden fazladir diyemeyiz.
Yeri gelmisken fotograf cekme isimizi yarida birakip matematikte farkli sonsuzlarin aslinda ayni coklukta olma durumunu inceleyelim. Matematikte bazi sonsuzlar basta birbirinden farkli gozukse de aslinda ayni olabilirler. Soyle ki: Mesela herkesin gozlerinin cok keskin oldugu bir dunyada koltuklari arka arkaya sonsuza kadar giden bir sinamamiz olsun ve elimizde de mukemmel bir film oyle ki butun koltuklar dolsun. Sonra salona cok yakin bir arkadasimiz gelsin ve o da filmi izlemek istedigini soylesin. Su an salonda eskisinden bir tane daha fazla insan vardir ve bu yuzden yeni sonsuzumuz eskisinden daha coktur gibi gozukebilir fakat durum aslinda oyle degildir. Sinemanin sahibi olarak biz bu cok yakin dostumuzu kirmaktansa sinemadaki butun seyircilerden mumkunse bir arka koltuga gecmelerini isteriz. Anlayisli seyircilerimizin de hepsi ayni anda ayaga kalkar ve bosalmis olan bir arka koltuga gecerler. Boylece bizim cok yakin dostumuzu en on siraya oturtmus oluruz ve artik bu sonsuz gozumuze eskisinden daha cok gozukmez cunku koltuk sayimiz degismemistir ve eskiden oldugu gibi simdi de her koltukta sadece bir kisi oturmaktadir. Matematikte o yuzden bu sekildeki sonsuzlar aslinda cokluk olarak aynidir. Dogal sayilarla, rasyonel sayilarin ayni coklukta olmasi gibi, oysa dogal sayilar rasyonellerin alt kumesidir degil mi?)
Simdi fotograf isimize geri donersek dedigimiz gibi bu fotograflarin sonsuzluguna sirf elimizde herkesin birer birer fotografindan daha fazla fotograf olacak diye arkadaslarimizin sonsuzlugundan daha fazladir diyemeyiz. Elimizdeki fotograflarin sonsuzlugunun fazla olmasi onlarin hic bir zaman elimizde olamayacak olmalarindan kaynaklanir. Demek istedigim arkadaslarimizin fotograf cekilebilecek o kadar cok kombinasyonu vardir ki biz bu kombinasyonlari hayal bile edemez, o yuzden her kombinasyonun teker teker fotografini cekip elimizde tutamayiz bile. Iste bu cekilemeyen fotograflarin sonsuzlugu arkadaslarimizin sonsuzlugundan buyuktur diyebiliriz, hem de oyle boyle degil. Keza arkadaslarimizin sonsuzlugunu hayal edebilirken (sayabilirken): arkadas1, arkadas2, ...... gibi, bu fotograflarin sonsuzlugunu hayal bile edemeyiz (sayamayiz). Bir nevi her arkadasimiz bir digerinden farkli bir bireyken, fotograflar kisiligini kaybetmis, akiskanlasmis, fotograftan cikip mukemmel, karelerinin arasinda bosluk olmayan bir filme donusmustur. Iste rasyonel sayilar arkadaslarimizin sonsuzluguna denk gelirken irasyoneller fotograflarin sonsuzluguna denk gelir.
Kisacasi irrasyoneller, soylenemez, yazilamaz, budur denilemez, cokluklari hayal bile edilemez, bir cok insana rahatsizlik veren, bu yuzden mantiksiz bulunan, reddedilen ama orada olan, olsa hic bir sorun cikmayacak, doganin varliklarini reddettigine dair bir kanit sunulamamis, bal gibi de mantikli, bal gibi de guzel, ustunde daha zengin bir matematik gelistirilebilen sayilardir. Rasyonel sayilarla beraber tum reel sayilari yani her seyi verirler.
